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“本质上已证明零点猜想”,张益唐或再创数学史的里程碑事件

来源:海报新闻

作者:

2022-11-09 15:43:11

原标题:“本质上已证明零点猜想”,张益唐或再创数学史的里程碑事件

来源:中国新闻周刊

原标题:“本质上已证明零点猜想”,张益唐或再创数学史的里程碑事件

来源:中国新闻周刊

对数论学家而言,存在两个宇宙。第一个宇宙中,存在朗道-西格尔零点,第二个宇宙中,不存在。“我们的困惑是:现在到底生活在哪个宇宙里?”

这种类似平行宇宙的设定,让人印象深刻。这段话出自美籍华裔数学家、美国加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授张益唐。几百年来,数学家们一直在试图回答这个问题,现在,张益唐似乎给出了初步答案。

11月4日上午,张益唐向预印本平台arXiv提交了一份长达111页的论文《离散平均数估计和朗道-西格尔零点》,论文尚未接受同行评审。论文部分证明了朗道-西格尔零点不存在。专家指出,这一成果可能比之前让张益唐“一战成名”的孪生素数猜想还要重大。如果张益唐的研究经证明是正确的,将推动多个数学领域全方位的进步。

11月8日上午,张益唐在北京大学做线上学术报告时说:“这一次解决朗道-西格尔零点,确实是在大海里落针。”他介绍,在解决其中关键步骤时,曾尝试了各种办法和工具,但最后一步就是跨不过去,后来想到了一个新的想法:通过引进四个序列,最终推出了矛盾。“能做到这一步,我是幸运的,只有把一些事情做到极致,才能找到这样的关系式出来。”

“梦寐以求去证明零点不存在”

11月5日上午,山东大学举办了一场关于张益唐朗道-西格尔零点猜想的研讨会,会上,张益唐夫人孙雅玲感慨:“他钻研数学钻得有点神经了,每天早上七点多天蒙蒙亮,拄着拐杖、背着书包就走了。晚上走回家就七点了。回到家,研究做不出来就一直嘟囔:‘零点、零点’,连我都知道零点了。我就想了个办法,每天晚上把菜准备好,让他回来炒菜,把注意力分散一点。”

朗道-西格尔零点究竟是一个什么问题?

张益唐曾说,他梦寐以求地是“想去证明这样一个零点不存在”,因为一旦发现零点存在,整个广义黎曼猜想就错了。

无论广义黎曼猜想还是黎曼猜想,都是为了解决素数的分布问题。素数指的是一类大于1的自然数,只能被1和它自身整除。素数研究是数论中的一个根本问题,如果能破解它的分布之谜,很多现有的猜想都能得到答案。

早在18世纪,人类就已经证明素数无限多,但对于素数的分布有很多困惑。19世纪,在瑞士数学家欧拉的研究基础上,黎曼构建了黎曼ζ函数,并且认为素数分布只与黎曼ζ函数的一种类型零点有关。原始的黎曼猜想是,所有这些零点都分布在实部等于二分之一的一条垂直线上。

黎曼猜想提出后,为研究等差数列上的素数分布问题,德国数学家狄利克雷1837年又引入了狄利克雷L函数,相当于上述黎曼函数的推广形式。数学家们推测,狄利克雷L函数上的零点也都位于实部等于二分之一的直线上,这就是广义黎曼猜想。如果证明了广义黎曼猜想,也就等于证明了黎曼猜想。

虽然黎曼猜想和广义黎曼猜想一直没有被证明,但数学家们基本默认了其真实性,除了一个例外,就是朗道-西格尔零点。德国数学家西格尔和其导师朗道在研究狄利克雷L函数时发现一个反例,一个异常零点可能不分布在那条直线上。这在一定程度上推翻了广义黎曼猜想。

朗道和西格尔后来又通过一些方法证明了这样的反例零点最多只有一个,但数学家们一直致力于证明:这样的反例并不存在。

西安交通大学数学与统计学院教授郗平对《中国新闻周刊》说,朗道-西格尔零点是近百年前人们在研究狄利克雷L函数时所发现的“怪物”。它若存在,那么原始的黎曼猜想就无法直接推广到狄利克雷L函数的情形。朗道和西格尔等人分别对这一特殊零点的位置给了“初步的控制”,但因方法所限,其中涉及的常数无法定出,这给很多数学中的应用带来本质障碍。

这也是为什么张益唐的证明如此重要,因为一百多年来,零点问题一直是解决很多数论问题的瓶颈,很多专家都对其发起了“进攻”但最终失败。

张益唐的思路有何创新和突破之处?

张益唐的博士生、现在加拿大女王大学数学与统计学读博后的阮大卫对《中国新闻周刊》解释,张益唐使用了一种经典的证明策略“矛盾证明法”。他首先假设朗道-西格尔零点“以弱形式存在”,结果发现,这会导致狄利克雷L函数中其他零点以非常规则的间距排列起来,“就像游行中的士兵队伍一样”。

阮大卫解释说,但实际上,这些零点应是随机分布的,连续零点之间的间距是不可预测的,“类似于高速公路上的汽车—有时两辆车相隔几英里,有时是保险杠对保险杠”。这种零点间隔的极端规律性,反过来证明了朗道-西格尔零点不存在。

简而言之,先是假设,最后发现结果矛盾,从而证明假设不成立。

长期从事数论研究的山东大学副校长刘建亚对《中国新闻周刊》说,如果单从论证上看,张益唐使用了一种经典的办法,但他把经典的方法发挥到极致,使用经典方法上,其中的一些创新和突破“非同凡响”。“经典的方法已经是千锤百炼,你要想在这个方面还有所突破,一定要比别人看得更深。”他说。

距离真正解决黎曼猜想还有很远

如果翻开张益唐的这篇论文,会发现摘要很短,风格是他一向的简洁清晰,其中只列出了一个公式,公式中函数的指数是-2022,“显然是在致敬今年。”知名计算数学家、中国科学院院士、北师—港浸大联合国际学院校长汤涛对《中国新闻周刊》说。

他还提到,在论文中,张益唐给出了两个定理,其中一个定理中指数则是-2024。汤涛解释,-2024如果变成-1,就相当于证明了原始形式的朗道-西格尔零点猜想,因此张益唐还没有完全解决零点问题,而是证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形:“一种相对弱的形式”。

但多位专家指出,对数论领域而言,这仍然是一个巨大的突破,和以前相比是“质的飞跃”。“都说研究零点问题是大海捞针,张益唐已经在在大海里捞到了一个脸盆,以前人们在大海里完全不知道方向,现在至少接下来至少知道要怎么做了,这是他的突破性所在。”汤涛说。

刘建亚强调,在数学意义上,2024与1没有实质性差别。“就像张益唐证明孪生素数猜想时,他证明的是‘存在无穷多对素数,其差值不超过7000万’,而原始猜想要求‘差值等于2’。从数学意义上来讲,7000万和2没有本质差别,因为在此前结果中这个差值可以趋于无穷,现在已经降到了有限数7000万。”

在北大报告会上,当有学生问张益唐:“指数2024可以改进到什么程度?”张益唐说:“很多步骤还可以更精细,到几百是可以的,但如果要到1,目前这个办法是不够的。”他表示,论文目前还需要进一步修改和补充,更关键的是“做简化”。

郗平也说,现在张益唐是在一个“稍小的范围里”证明了零点不存在,虽然范围有点小,但是比以前的范围要大得多。从纯数学的角度而言,在量级上是一个飞跃。这一工作若得到证实,将在素数相关的核心问题上得到应用,且其中产生的方法论将为解析数论带来革命性改变。

但他也指出,证明黎曼猜想和广义黎曼猜想,就是数学家们不断向实部是二分之一的那条直线靠近的过程。但按照张益唐目前的方法,距那条直线还很遥远,也就是说,真正解决黎曼猜想和广义黎曼猜想的希望还很渺茫。

张益唐的学生阮大卫说,张益唐的研究不仅在解决朗道-西格尔猜想上实现了巨大飞跃,而且他的结果“强大而干净”,可以立即为解析数论领域的其他研究者使用,从而迅速推进数学和科学,可能改变数论中传统证明的方式。他认为,如果结果正确的话,这将是1896年证明素数定理以来,过去125年来数论中得到的最好的结果之一。

刘建亚指出,与孪生素数猜想相比,朗道-西格尔零点问题更具有基础性和根本性,尤其对解析数论而言,很多数论问题的解决都要依赖于朗道-西格尔零点的表现,比如偶数的哥德巴赫猜想例外集的研究。

在他看来,张益唐的孪生素数猜想,算是某种程度振兴了解析数论,这次关于零点问题的突破,如果经过验证正确的话,进一步振兴了解析数论这门学问。

青年时期一直想做的“大问题”

上一次,张益唐带来如此重大的成果还是在2013年,他凭借一篇《素数间的有界距离》一夜成名,创下了数学顶刊《数学年刊》百年来最快的过审记录。但他自己说,与朗道-西格尔零点问题相比,对孪生素数猜想的研究只能算是“走上一条岔道”,这一次,他回到主路,终于攻克了自己从青年时期一直想做的“大问题”。

与突破孪生素数猜想时的灵光一现相比,对朗道-西格尔零点的研究更像是一次长期的漫行。孤独一直伴随着他,有时也会在心灵深处感到疲惫,看不到希望,但他仍在一小步一小步向前走。直到二十多年后,他缓慢而坚定地,走到了路的终点。

汤涛曾问他,这二十多年来是如何坚持下来?张益唐说,就是每天不中断思考,去海边散步时、听音乐会时都在思考。但有时遇到瓶颈了,也会暂时停下来,比如去做孪生素数猜想,中断一会,但很快,还会继续回到这个问题。因为它一直在他的脑海中挥之不去。

张益唐说,自己做学问的风格,即如果一件事喜欢干,就告诉自己,要把这个证明弄懂,这是很重要的。做数学要往深了钻,但有的时候,不知道怎么往前走的时候,最好能停一下,回到出发点,问一下自己想做什么。

2013年7月,张益唐发表孪生素数猜想结果不久,数学家季理真、翁秉仁曾对他做过一期专访。采访者说,数学家是要选择解决几百年没有攻克的“大问题”,还是“即使结果小也有意义”的问题。有人不鼓励大家研究黎曼猜想,“因为没有就什么都没了”。张益唐连忙说,还是希望有人即使在做别的东西时,保持某些你有兴趣的困难问题,例如黎曼假说…“像这种东西你可以尽想象力去试,不要以为前人所做的已经穷尽了。”

汤涛眼中,张益唐是那类很罕见的“真正做数学的人”,只追求简单的数学之美,写的文章也美,只想要解决一些多年来解决不了的“数学上的本质问题”。他也很执着,会按照原来的思路一直往前走,如果有些东西还没想透,就会花很多时间想,直到想通为止。“目前对朗道-西格尔零点问题,他认为已经解决了。”

北大报告会的最后,张益唐意味深长地说:“在数论里没有什么东西是一定不可能的,我用了这么多年去大海捞针,针没捞到,海底地貌反而弄清楚了,最后发现,其实不需要这根针也能达到终点。”

汤涛说,张益唐这篇论文很简洁,思路清晰,但篇幅比孪生素数论文要长,审稿周期估计需要一个多月,而结果是否正确,经过最严格的验证后,三四个月后应该会有一个最终结论。他还透露,张益唐下一步的研究方向可能是解决哥德巴赫猜想,这也是数学史上的“大问题”,“中国数学家很早就对这个猜想感兴趣,但目前距离最终解决还有很大的距离。”

作者:霍思伊

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